本篇內(nèi)容主要講解“Java概率論的計(jì)數(shù)方法是什么”，感興趣的朋友不妨來(lái)看看。本文介紹的方法操作簡(jiǎn)單快捷，實(shí)用性強(qiáng)。下面就讓小編來(lái)帶大家學(xué)習(xí)“Java概率論的計(jì)數(shù)方法是什么”吧!

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概率

概率論研究隨機(jī)事件。它源于賭徒的研究。中有許多隨機(jī)事件，比如投擲一個(gè)，是否只憑運(yùn)氣呢？

賭徒逐漸發(fā)現(xiàn)隨機(jī)事件的規(guī)律。投擲兩個(gè)是常見(jiàn)的游戲。如果重復(fù)很多次，那么總數(shù)為2的次數(shù)會(huì)比總數(shù)7的次數(shù)少。這就是賭徒把握到的規(guī)律：盡管我無(wú)法預(yù)知事件的具體結(jié)果，但我可以了解每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性。這是概率論的核心。

“概率”到底是什么？這在數(shù)學(xué)上還有爭(zhēng)議?！邦l率派”認(rèn)為概率是重復(fù)嘗試多次，某種結(jié)果出現(xiàn)的次數(shù)在嘗試的總次數(shù)的比例?！柏惾~斯派”認(rèn)為概率是主觀信念的強(qiáng)弱。幸好，這些爭(zhēng)議并不影響我們?cè)谌粘Ｉ钪惺褂谩案怕省闭軐W(xué)。天氣預(yù)報(bào)的降雨概率為80%時(shí)，很多人會(huì)因此帶上傘。報(bào)紙會(huì)分析一場(chǎng)球賽某支球隊(duì)的贏球概率，如果最終贏球概率為10%的球隊(duì)取勝，那么球迷會(huì)感到驚訝，這畢竟是小概率事件。

要知道某個(gè)結(jié)果的概率并不容易。上面分析球隊(duì)的贏球概率，要考慮許多因素。投一個(gè)，有6種可能的結(jié)果。許多原因會(huì)影響到結(jié)果，比如撒子是否均勻，比如擲撒子的人是否有技巧偏向。只有在絕對(duì)均勻，且沒(méi)有作弊，每種結(jié)果出現(xiàn)的概率才相同。否則的話，根本無(wú)法給結(jié)果一個(gè)確定的概率值。因此，為了能從數(shù)學(xué)上給結(jié)果分配一個(gè)概率，我們往往會(huì)給隨機(jī)事件增加一些假設(shè)條件。這些條件有理想化的成份，但并不至于偏離現(xiàn)實(shí)。比如，我們說(shuō)擲撒子，撒子均勻，擲的人也沒(méi)有什么特殊手法，并由此推斷每種結(jié)果出現(xiàn)的可能相同。那么，其中任意一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率為1/6。

基本計(jì)數(shù)原理

上面我們談到了“等概率”的假設(shè)。如果每種結(jié)果出現(xiàn)的概率相同，那么給結(jié)果分配概率的任務(wù)就變得簡(jiǎn)單一些。在計(jì)算這種概率時(shí)，我們只需要等概率的結(jié)果的總數(shù)，就可以知道每種結(jié)果的概率。比如擲一個(gè)撒子會(huì)有6種結(jié)果，如果等概率，那么每個(gè)結(jié)果的概率為1/6。對(duì)于一些復(fù)雜的情況，就需要使用到計(jì)數(shù)技巧。

計(jì)數(shù)的基本原理敘述如下:

如果一個(gè)實(shí)驗(yàn)可以分為m個(gè)步驟，每個(gè)步驟分別有n1,n2,...,nmn1,n2,...,nm種可能，那么總共會(huì)有

n1×n2×...×nmn1×n2×...×nm

種可能的結(jié)果。

基本技術(shù)原理的核心是“分步”。對(duì)于簡(jiǎn)單的一個(gè)步驟的事情，我們能比較直接的分辨結(jié)果的總數(shù)。比如生一個(gè)孩子的性別，比如一個(gè)硬幣的正反，比如一個(gè)撒子的結(jié)果。當(dāng)一個(gè)隨機(jī)事件是多個(gè)步驟復(fù)合而成的，而每個(gè)步驟又都是隨機(jī)的，那么分布可以簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜性。想像一個(gè)餐廳，有三個(gè)窗口，分別賣三種飲料，五種菜和兩種主食。每個(gè)學(xué)生在每個(gè)窗口限選一種，那么學(xué)生的餐飲配套會(huì)有3x5x2共30種可能的結(jié)果。如果每個(gè)窗口的師傅都很隨意霸道，隨手給學(xué)生一樣?xùn)|西，那么我們甚至于可以假設(shè)等概率條件，每種餐飲拍套出現(xiàn)的概率為1/30。

(當(dāng)然，作為學(xué)生，會(huì)抗議這樣的“隨機(jī)”食堂吧？)

基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用并不局限于概率論。在程序員進(jìn)行算法分析時(shí)，無(wú)形中使用的就是進(jìn)行計(jì)數(shù)。比如嵌套循環(huán)，外循環(huán)需要M步，內(nèi)循環(huán)需要N步，那么總共進(jìn)行操作的次數(shù)是MxN次?？梢哉f(shuō)，計(jì)數(shù)是“離散數(shù)學(xué)”非常重要的一個(gè)組成部分；而離散數(shù)學(xué)，正是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心數(shù)學(xué)課程。

基本計(jì)數(shù)原理是思考的起點(diǎn)?，F(xiàn)實(shí)中的情況往往會(huì)更多變些。特別是當(dāng)我們“分布”的動(dòng)作都是作用于同一個(gè)群體時(shí)，會(huì)相對(duì)復(fù)雜。我們分類了解以下情形:

有序的重復(fù)抽樣

考慮下面的兩個(gè)問(wèn)題:

• 一個(gè)連續(xù)擲2次，所有可能的結(jié)果有多少個(gè)？

• 一個(gè)可選6個(gè)號(hào)，每個(gè)號(hào)可以是0到9，共有多少個(gè)可能的結(jié)果？

我們可以看到，這一類的抽樣結(jié)果是由多次抽樣構(gòu)成的。每次抽樣的樣本，在下一次也可能出現(xiàn)。比如第一次為1，第二次還可能為1。這叫做重復(fù)抽樣 (或者說(shuō)有放回的抽樣，sampling with replacement)。在的例子中，每次抽樣的可能出現(xiàn)的結(jié)果都有6種。

樣本出現(xiàn)的次序影響結(jié)果。比如(1,2)(1,2)和(2,1)(2,1)是兩個(gè)不同結(jié)果。

從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，如果進(jìn)行m次有放回的抽樣，每次抽樣都有n種可能。如果最終結(jié)果有序，那么將有

nmnm

種可能。

我們下面模擬的例子:

import itertools
a = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
outcomes = list(itertools.product(a, a))print(outcomes)print(len(outcomes))

共返回36個(gè)可能的結(jié)果:

[(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), 
 (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), 
 (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), 
 (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), 
 (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), 
 (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)]
36

如果每種結(jié)果的出現(xiàn)概率相同，那么對(duì)于其中的某個(gè)具體結(jié)果來(lái)說(shuō)，它出現(xiàn)的概率P=1/36P=1/36。

有序的非重復(fù)抽樣

考慮下面兩個(gè)問(wèn)題:

• 從4個(gè)人中，挑出2個(gè)人分別擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)和副隊(duì)長(zhǎng)，有多少種可能？

• 從10們課種，挑選3門，分別放入周一、周三、周五的課表，有多少種可能？

可以看到，這樣的抽樣是沒(méi)有重復(fù)的。某一次抽樣的樣本在此后不會(huì)出現(xiàn)，前面一個(gè)步驟的動(dòng)作減少了后面一個(gè)步驟的選擇，這叫做非重復(fù)抽樣。在非重復(fù)的前提下，每次抽樣可能的結(jié)果數(shù)遞減，比如從4個(gè)人中選一個(gè)作為隊(duì)長(zhǎng)，那么副隊(duì)長(zhǎng)只能從3個(gè)人中選擇。

同樣，結(jié)果是有序的。A擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，B擔(dān)任副隊(duì)長(zhǎng)，與A擔(dān)任副隊(duì)長(zhǎng)，B擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，是兩個(gè)不同結(jié)果。

有序的非重復(fù)抽樣又叫做排列(permutation)。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，從n個(gè)樣品中挑選m個(gè)，放入m個(gè)位置，將有

n×(n?1)×...×(n?m+1)n×(n?1)×...×(n?m+1)

種可能。如果我們使用階乘(factorial)運(yùn)算符，那么結(jié)果可以表示為

n!(n?m)!n!(n?m)!

其中，n!=1×2×...×(n?1)×nn!=1×2×...×(n?1)×n。

我們用下面的程序來(lái)模擬隊(duì)長(zhǎng)組合的狀況:

import itertools
a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.permutations(a, 2))print(outcomes)print(len(outcomes))

結(jié)果為

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'), 
 ('Lee', 'Tom'), ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'), 
 ('King', 'Tom'), ('King', 'Lee'), ('King', 'James'), 
 ('James', 'Tom'), ('James', 'Lee'), ('James', 'King')]

共有12種可能的結(jié)果。

無(wú)序的非重復(fù)抽樣

考慮下面的問(wèn)題:

• 從4個(gè)人中抽出2個(gè)人，有多少種可能？

• 從一副中抽3張牌，有多少種可能？

在上面的問(wèn)題中，每次抽樣同樣是非重復(fù)的。但這里，抽樣結(jié)果是無(wú)序的。比如說(shuō)，抽出"Lee"和"Tom"，以及抽出"Tom"和"Lee"，是同一個(gè)結(jié)果。這樣的抽樣方式叫做組合(combination)。

m個(gè)樣品有m!m!種排列方式。如果是從n個(gè)樣品中抽取m個(gè)作為組合，所有的這m!m!種排序方式應(yīng)該看做一種。因此，有

n!(n?m)!m!n!(n?m)!m!

種可能結(jié)果。我們可以用下面的方式記錄組合:

(nm)=n!(n?m)!m!(nm)=n!(n?m)!m!

 

我們下面來(lái)模擬第一個(gè)問(wèn)題:

import itertools
a = ["Tom", "Lee", "King", "James"]
outcomes = list(itertools.combinations(a, 2))print(outcomes)print(len(outcomes))

有以下結(jié)果

[('Tom', 'Lee'), ('Tom', 'King'), ('Tom', 'James'),
 ('Lee', 'King'), ('Lee', 'James'),
 ('King', 'James')]

可以看到，從4個(gè)中挑選2個(gè)，有6種可能的組合。這是排列的一半。

組合的問(wèn)題可以進(jìn)一步延伸。比如，將9個(gè)球分為1, 3, 5個(gè)的三堆，有多少種方式？這相當(dāng)于從9個(gè)球中抽取1個(gè)，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)球中抽取3個(gè)，最后剩下的5個(gè)為一堆?？梢宰C明，結(jié)果為

9!1!3!5!9!1!3!5!

類似的，將n個(gè)球分為n1,n2,...,nmn1,n2,...,nm個(gè)的堆，其中n=n1+n2+...+nmn=n1+n2+...+nm。將有

n!n1!n2!...nm!n!n1!n2!...nm!

種可能。

無(wú)序的重復(fù)抽樣

考慮下面的問(wèn)題:

• 刮獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品。購(gòu)買3張的話，有多少種中獎(jiǎng)可能？

在上面的每次抽樣中，都是重復(fù)抽樣，即抽出后有放回。比如刮獎(jiǎng)中，可以多次刮到同一獎(jiǎng)品。我們?cè)谝粋€(gè)表中記錄結(jié)果:

	臺(tái)燈	手表	電腦	汽車
可能1	3	0	0	0
可能2	2	0	1	0
可能3	0	1	1	1

可以看到，我們實(shí)際上是將3張分成4份，每份的數(shù)目不定(≥0)(≥0)。

這與下面的問(wèn)題類似，將5個(gè)相同物品放入三個(gè)不同的容器中:

我們用2個(gè)黑色分隔物，來(lái)將5個(gè)相同的物品分為3堆。比如這里，將物品分為(0, 2, 3)的結(jié)果。

從7個(gè)位置中挑選2個(gè)作為分割物的位置，共有

(72)(72)

種可能。

概括來(lái)講，從n個(gè)樣品中，無(wú)序的重復(fù)抽樣m次，有

(n+m?1m?1)(n+m?1m?1)

種可能。

階乘與組合

我們?cè)谏厦娑啻问褂昧穗A乘運(yùn)算，在Python中，它可以使用math.factorial實(shí)現(xiàn):

import mathprint(math.factorial(5))

此外，組合可以使用scipy.misc.comb來(lái)近似計(jì)算，比如:

import scipy.miscprint(scipy.misc.comb(4, 2))

到此，相信大家對(duì)“Java概率論的計(jì)數(shù)方法是什么”有了更深的了解，不妨來(lái)實(shí)際操作一番吧！這里是創(chuàng)新互聯(lián)網(wǎng)站，更多相關(guān)內(nèi)容可以進(jìn)入相關(guān)頻道進(jìn)行查詢，關(guān)注我們，繼續(xù)學(xué)習(xí)！

當(dāng)前名稱：Java概率論的計(jì)數(shù)方法是什么-創(chuàng)新互聯(lián)
文章URL：http://www.rwnh.cn/article44/cojhhe.html

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