數(shù)值分析中的樣條函數(shù):使用scipy.interpolate.splrep函數(shù)實(shí)現(xiàn)

在 數(shù)學(xué) 學(xué)科 數(shù)值分析 中， 樣條 是一種特殊的 函數(shù) ，由 多項(xiàng)式 分段定義。樣條的 英語(yǔ) 單詞spline來源于可變形的樣條工具，那是一種在 造船 和 工程制圖 時(shí)用來畫出光滑形狀的工具。在中國(guó)大陸，早期曾經(jīng)被稱做“齒函數(shù)”。后來因?yàn)楣こ虒W(xué)術(shù)語(yǔ)中“放樣”一詞而得名。

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在 插值 問題中，樣條插值通常比 多項(xiàng)式插值 好用。用低階的樣條插值能產(chǎn)生和高階的多項(xiàng)式插值類似的效果，并且可以避免被稱為 龍格現(xiàn)象 的數(shù)值不穩(wěn)定的出現(xiàn)。并且低階的樣條插值還具有“保凸”的重要性質(zhì)。

在 計(jì)算機(jī)科學(xué) 的 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) 和 計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 中，樣條通常是指分段定義的多項(xiàng)式 參數(shù)曲線 。由于樣條構(gòu)造簡(jiǎn)單，使用方便，擬合準(zhǔn)確，并能近似 曲線擬合 和交互式曲線設(shè)計(jì)中復(fù)雜的形狀，樣條是這些領(lǐng)域中曲線的常用表示方法。

scipy.interpolate.splrep（x，y，w = None，xb = None，xe = None，k = 3，task = 0，s = None，t = None，full_output = 0，per = 0，quiet = 1 ）

找到一維曲線的B樣條曲線表示。

給定數(shù)據(jù)點(diǎn)集，確定區(qū)間上度k的平滑樣條近似。(x[i], y[i])xb = x = xe

x，y： array_like

定義曲線y = f（x）的數(shù)據(jù)點(diǎn)。

w： array_like，optional

權(quán)重的嚴(yán)格正秩1數(shù)組，其長(zhǎng)度與x和y相同。權(quán)重用于計(jì)算加權(quán)最小二乘樣條擬合。如果y值中的誤差具有矢量d給出的標(biāo)準(zhǔn)偏差，則w應(yīng)為1 / d。默認(rèn)值為1（len（x））。

xb, xe：float, optional

適合的間隔。如果為None，則它們分別默認(rèn)為x [0]和x [-1]。

k： int，optional

花鍵擬合的程度。建議使用三次樣條。甚至應(yīng)避免使用k值，尤其是在s值小的情況下。1 = k = 5

task：{1, 0, -1}, optional

如果task == 0，則在給定的平滑因子s下找到t和c。

如果task == 1，則找到t和c作為平滑因子s的另一個(gè)值。對(duì)于同一組數(shù)據(jù)，必須先前有一個(gè)task = 0或task = 1的調(diào)用（t將存儲(chǔ)為內(nèi)部使用）

如果task = -1，則找到給定結(jié)點(diǎn)t的加權(quán)最小二乘樣條曲線。這些應(yīng)該是內(nèi)部結(jié)，因?yàn)閮啥说慕Y(jié)將自動(dòng)添加。

s：float, optional

平滑條件。滿足以下條件來確定平滑度：sum（（w （y-g）） * 2，axis = 0）= s其中g(shù)（x）是（x，y）的平滑插值。用戶可以使用s來控制貼合度和貼合度之間的權(quán)衡。較大的s表示更平滑，而較小的s表示較不平滑。s的推薦值取決于權(quán)重w。如果權(quán)重代表y的標(biāo)準(zhǔn)偏差的倒數(shù)，則應(yīng)在（m-sqrt（2 * m），m + sqrt（2 * m））范圍內(nèi)找到一個(gè)好的s值，其中m是x，y和w中的數(shù)據(jù)點(diǎn)。默認(rèn)值：如果提供了權(quán)重，則s = m-sqrt（2 * m）。如果未提供權(quán)重，則s = 0.0（內(nèi)插）。

t：array_like, optional

任務(wù)= -1所需的結(jié)。如果給出，則任務(wù)自動(dòng)設(shè)置為-1。

f：full_outputbool, optional

如果非零，則返回可選輸出。

per：bool, optional

如果非零，則將數(shù)據(jù)點(diǎn)視為周期為x [m-1]-x [0]的周期，然后返回平滑的周期樣條近似。不使用y [m-1]和w [m-1]的值。

quiet：bool, optional

非零以禁止顯示消息。不推薦使用此參數(shù)；請(qǐng)改用標(biāo)準(zhǔn)的Python警告過濾器。

Returns：

tck：tuple

元組（t，c，k），包含結(jié)向量，B樣條系數(shù)和樣條度。

fp：array, optional

樣條近似值的平方殘差的加權(quán)總和。

ier：int, optional

有關(guān)splrep成功的整數(shù)標(biāo)志。如果ier = 0，則表示成功。如果[1,2,3]中的ier發(fā)生錯(cuò)誤，但未引發(fā)。否則會(huì)引發(fā)錯(cuò)誤。

msg：str, optional

對(duì)應(yīng)于整數(shù)標(biāo)志ier的消息。

下面插值一個(gè)函數(shù)

如何通過python實(shí)現(xiàn)三次樣條插值

spline函數(shù)可以實(shí)現(xiàn)三次樣條插值 x = 0:10; y = sin(x); xx = 0:.25:10; yy = spline(x,y,xx); plot(x,y,'o',xx,yy) 另外fnplt csapi這兩個(gè)函數(shù)也是三次樣條插值函數(shù)，具體你可以help一下！

「Scipy」樣條插值在數(shù)據(jù)可視化中的運(yùn)用

好久沒有更新文章了，學(xué)校的教材發(fā)下來了，作業(yè)一下就變多了。

首先，把最終效果放出來：

運(yùn)用樣條插值，即 B-Spline ，可以使你在圖表中使用曲線連接離散數(shù)據(jù)（在插值法中，這些離散數(shù)據(jù)稱為 節(jié)點(diǎn) ）

正如你在上面所看到的那樣，在Python中插值非常簡(jiǎn)單， Scipy 中的 interpolate 為你提供了樣條插值所需要的一系列函數(shù)。

import部分就不多說了，

這里首先定義了一系列節(jié)點(diǎn)，這里數(shù)據(jù)是隨機(jī)的，

接下來，首先使用 linspace 為插值提供所需的x值， splrep 根據(jù)節(jié)點(diǎn)計(jì)算了樣條曲線的參數(shù)，最后將其傳遞給 splev 計(jì)算插值后的結(jié)果。

你可能是抱著想要用曲線連接節(jié)點(diǎn)的目的來看這篇文章，但看到這里還沒搞懂插值法是個(gè)什么玩意，那么接下來的內(nèi)容就是在講數(shù)學(xué)中的插值法，與Python和Scipy已無(wú)關(guān)聯(lián)。

插值法，就是在給定的節(jié)點(diǎn)中作出合適的函數(shù)，使得這條曲線 經(jīng)過每一個(gè)節(jié)點(diǎn) ，這也就是為什么在數(shù)據(jù)可視化中使用插值而不是其他方法的原因，因?yàn)椴逯岛笕匀荒軌驕?zhǔn)確知道每一節(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的值。

那么，是不是節(jié)點(diǎn)越多，插值的準(zhǔn)確性就越高呢？

貌似是這樣，畢竟節(jié)點(diǎn)越多，對(duì)曲線的限制條件就越多，那準(zhǔn)確性不久越高了。

但是呢，如果你使用多節(jié)點(diǎn)直接插值（不是在程序中插值，因?yàn)槌绦驎?huì)使用分段樣條插值），你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，曲線在兩段有明顯的震蕩，并且節(jié)點(diǎn)越多，震蕩越明顯、越大：

這種現(xiàn)象被稱為 Tolmé Runge 現(xiàn)象（ 龍格現(xiàn)象 ），描述的就是這一問題。對(duì)此的數(shù)學(xué)證明在知乎上有， 傳送門 。

通過龍格現(xiàn)象，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)量趨向于無(wú)窮時(shí)，插值的誤差會(huì)趨向于無(wú)窮大：

那么，如何避免這一情況呢，可以把我們?cè)鹊牡染喙?jié)點(diǎn)替換成Chebyshev節(jié)點(diǎn)，但是如果我們的離散數(shù)據(jù)確實(shí)等距，這一方法不好用，那么就可以才用分段插值，我們的程序?qū)埜瘳F(xiàn)象也是這樣處理的。

分段插值就是將高次多項(xiàng)式拆分成多個(gè)低次多項(xiàng)式，一般都拆分成三次多項(xiàng)式。

由于插值和擬合常常一起出現(xiàn)，所以這里也簡(jiǎn)單提一下擬合。

擬合是對(duì)你給出的離散數(shù)據(jù)，作出于數(shù)據(jù) 差距最小 的函數(shù)，另外，按照擬合的結(jié)果，擬合也分線性擬合和非線性擬合。

擬合與插值的差別就在于，插值必須過節(jié)點(diǎn)，但是擬合不需要，所以擬合曲線的整體效果會(huì)更好，也就是更平滑。

擬合一般都用在數(shù)據(jù)分析里，因?yàn)閿M合曲線更能夠看出整體的變化趨勢(shì)嘛。

這篇文章寫起來難度還是想當(dāng)大，如果我的描述有問題的話，歡迎評(píng)論區(qū)留言。

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名稱欄目：樣條函數(shù)python 樣條函數(shù)python代碼
本文地址：http://www.rwnh.cn/article30/hheoso.html

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